単純なモデルゲームを考えてみる
 日記

　n人零和有限確定完全情報ゲームを考えるために、単純なゲームを考えてみようと思った。
　名づけて「Say10」

• 初期状態は「0」。
  
• プレイヤーの手番には、場の数字に「1」か「2」を足す。
  
• 「10」にしたプレイヤーの勝ち。
  

　ノット30とかいわれるゲームがあるけど（ちなみにこれは先手必勝）、あれの逆。一人勝ちゲームにするために、10といったら勝ちにしてみる。

　これを、とりあえず３人でやることにしてみる。もちろん、プレイヤーは全員、オラクル（最善手を打ちつづける人）という前提。
　簡単に考えられることとして、

• 「8」か「9」にしたら負け（下家の勝ち）
  

　である。今回は３人でプレイしているので、

• 「7」にしたら負け（二つ下家のプレイヤーの勝ち）
  

　もすぐにわかる。

• 「6」にしたら、下家の負けが確定する。
  

　このとき、下家には「7」「8」という二つの選択肢があるが、敗北決定なのでどちらを選ぶかはわからない。「7」を選べばあなたの勝ち、「8」を選べばあなたの上家の勝ちである。
　さらに進めると、

• 「5」にしたら、二つ下家の負け確定（「7」は負けだから、下家は「6」で止めるしかない）
  

　さて、場の数字が「4」であなたの手番が回ってきた。あなたは「5」を選ぶべきか「6」を選ぶべきか。
　これはどちらでもいい。どちらも最善手である。ただしあなたが勝てるかどうかは、あなたがここで決める敗北決定者の選択次第。

• 「4」にしたら……、下家に敗者決定権を渡すことになる。
  

　ここから勝つには「敗北決定者にされず（下家が「6」）」「勝者決定権者があなたを勝たせる（二つ下家が「8」）」という二つの条件を満たさなければならない。
　単純にここから勝率を考えれば25%。つまり、「4」より「5」のほうが強い。
　ここからいえるのは「敗者決定権は強い」ということなんだが、それはまた別の機会に考えることにして。

• 「3」にしたら負け確定（下家は「5」を選ぶから）
  
• 「2」にしたら、二つ下家に敗者決定権（下家は「4」しかない）。
  
• 「1」にしたら、あなたに敗者決定権（下家は「2」しかない）。
  

　まとめよう。他人の選択による勝率を評価点とすると、

　である。
　ゲームの展開は、

• １番手　「1」
  
• ２番手　「2」
  
• ３番手　「4」
  

　まで決まっていて、ここでふたたび回ってきた1番手が「5」か「6」かでゲームが分岐しはじめることになる。

　さてここで注意すべきは、ゲーム開始時には全プレイヤーに可能性があるというところだ。
　ただし勝率には差があって、１番手は50%、２・３番手は25%になる。

　……と、つらつらと考えたりした。
　いやつまり「ゲーム理論とゲームの神さま」で書いた「ゲーム開始時に決定している敗者の、」という部分が間違いだったといいたかっただけなんだけどさ。

［2006.05.15 01:45］てらしま :
　あと３人以上になると「評価関数がブーリアン」もウソか。